[반도체공학] 04. Introduction to Quantum mechanism (2)

Introduction to Quantum mechanism

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참고사항: $\overline{h}$은 디렉 상수 ħ를 의미합니다.

 

♭ 슈뢰딩거 파동 방정식(Schrodinger's wave equation)

-에너지 보존 법칙

$$ E(Total \, energy) = E_{p}\,(Potential \, energy) + E_{k}(Kinetic \, energy) $$

→ 반도체 소자에 전압을 인가하면 전자의 흐름(전류)이 발생하는데, 이때 전자가 격자를 지나갈 때 파동으로 해석하는 것이 용이하다: 슈뢰딩거 파동 방정식

 

1) Hamiltonian operator

$$ E \equiv -\frac{\overline{h}}{j}\frac{\partial }{\partial t} \; P \equiv \frac{\overline{h}}{j}\frac{\partial }{\partial x}$$

$$ E = E_{p} + E_{k} \to -\frac{\overline{h}}{j}\frac{\partial }{\partial t} = E_{p} + \frac{p^2}{2m} $$

 

2) Electrostatic potential barrier

$$ -\int_{\infty }^{\overrightarrow{r}} \overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})d\overrightarrow{r} = Q\cdot 2V(r) = \frac{Q_{1}Q_{2}}{4\pi \varepsilon r} $$

 

3)Schrodinger's wave equation

$$ -\frac{\overline{h}}{j}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} = E_{p} + (-\frac{\overline{h}^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2}) $$

$$ -\frac{\overline{h}}{j}\frac{\mathrm{d} \Psi (x,t)}{\mathrm{d} t} = E_{p}\Psi (x,t) + (-\frac{\overline{h^2}}{2m}\frac{\partial^2\Psi (x,t) }{\partial x^2}) $$

*전자의 이동 특성(시간적 변화, 공간적 분포) 정의: $ \Psi (x,t) = \psi(x)\phi (t) $

→ 물리적인 의미를 가지고 있지 않다.

$ \psi (x) = Aexp(+jkx) + Bexp(-jkx) $ : 공간, E_p 의존 → 파동함수

$ \phi(t) = exp(-j\frac{E}{\overline{h}}t) = exp(-jwt) $ : 시간 의존, E_p 무관 → 파동함수

 

4) Physical meaning

$$ -\frac{\overline{h}}{j}\frac{\mathrm{d}\Psi (x,t) }{\mathrm{d} t} = E_{p}\Psi (x,t) + (-\frac{\overline{h}^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi (x,t) }{\partial x^2}) $$

1. $\Psi (x,t) = \psi (x) \phi(t)$ 대입

$$ -\frac{\overline{h}}{j}\frac{\partial \phi (t)}{\partial x}\psi (x) = E_{p}\psi (x) \phi (t) + (-\frac{\overline{h}^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi (x)}{\partial x^2}\phi (t))  $$

2. 양변을 $\psi (x)\phi (t)$으로 나누기

$$ -\frac{\overline{h}}{j}\frac{\partial\phi (t) }{\partial t}\frac{1}{\phi (t)} = E_{p}\psi (x)\phi (t) + (-\frac{\overline{h}^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi (x)}{\partial x^2}\frac{1}{\psi (x)}) = E\,(Total\, energy)$$

 

Solution)

 

1. $-\frac{\overline{h}}{j}\frac{\partial \phi (t)}{\partial t}\frac{1}{\phi (t)}=E $

1차 미분방정식 풀이

$\frac{\partial \phi (t)}{\partial t} = -j\frac{E}{\overline{h}}\phi (t)$ →$\phi (t) = Ae^{-j\frac{E}{\overline{h}}t}=Ae^{-jwt}$

 

2. $E_{p} -\frac{\overline{h}^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi (x)}{\partial x^2}\frac{1}{\psi (x)} = E$

$\frac{\partial^2 \psi (x)}{\partial x^2}+\frac{2m}{\overline{h}^2}(E-E_{p})\psi (x) = 0$ ← $k^2 \equiv \frac{2m}{\overline{h}^2}$ : 전파상수

2차 미분방정식 풀이

$\therefore \frac{\partial^2 \psi (x)}{\partial x^2}+k^2\psi (x) = 0$→$\psi (x) = Aexp(+jkx)+Bexp(-jkx)$

 

Normalization)

 

파동함수 정규화 및 계수 결정 조건

Condition 1. $\psi (x)$는 유한하고, 단일값을 가지며 연속이다.

Condition 2. $\frac{\partial \psi (x)}{\partial x}$는 유한하고, 단일값을 가지며 연속이다.

$\int_{-\infty }^{\infty }\left| \psi (x)\right|^2\left| \phi(t)\right|^2 = \int_{-\infty }^{\infty }\left|\psi(x) \right|^2dx =1$ ($\left| \phi(t)\right|^2 =1$)

 

$\left| \psi(x)\right|^2$는 단일 입자(전자 1개)에 대한 확률 밀도 함수이므로, 무한한 공간 내에서 입자가 발견될 확률은 1이다. 

→ 단일 전자의 운동은 전파 상수 k에 의해 결정

($\int_{-\infty }^{\infty }\left| \psi(x)\right|^2dx=1$이므로 특정 지점에서 전자가 발견될 확률은 시간에 무관하다. → 전자가 발견될 확률은 위치(에너지 장벽; E_p(Potential energy))에 의존한다.)

 

<출처>
Donald A. Neaman, "Semiconductor physics and device" 4th edition.

 

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