[반도체공학] 06. Introduction to Quantum mechanism (4)

Introduction to Quantum mechanism

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참고사항: $ \overline{h}$는 디렉 상수 ħ를 의미합니다.

 

♭ Step potential function

1) 포텐셜 에너지 Ep 정의
영역Ⅰ( x ＜ 0 )	영역 Ⅱ ( x ≥ 0 )
Ep1 = 0	Ep2 = V0
2) 전파 상수 k 정의
$$k_{1} = \sqrt{\frac{2m(E-0)}{\overline{h}^2}}=\sqrt{\frac{2mE}{\overline{h}^2}}$$	$$k_{2} = \sqrt{\frac{2m(E-V_{0})}{\overline{h}^2}}$$
3) 파동 함수 ψ(x) 정의
$$\psi_{1}(x) = Ae^{+jk_{1}x}+Be^{-jk_{1}x}$$	$$ \psi_{2}(x) = Ce^{+jk_{2}x}+De^{-jk_{2}x} $$ $$\psi _{2}(x)=Ce^{+jk_{2}x}$$ (영역 Ⅱ은 +x 방향으로 이동하기 때문)
4) 경계 조건 (Boundary condition) Condition 1. ψ(x)는 유한하다. Condition 2. ψ(x)와 ψ'(x)는 연속함수이다. $$ \psi_{1}(x=0)=\psi_{2}(x=0) $$ $$ \psi_{1}'(x=0)=\psi_{2}'(x=0) $$

 

♭ 반사 계수 (Reflection coefficient) & 전달 계수 (Transmission coefficient)

$$ R(Reflection \, coefficient)\equiv \frac{Reflection \, flux}{Incident \, flux} $$

$$T(Transmission \, coefficient)\equiv \frac{Transmission \, flux}{Incident \, flux}$$

R + T = 1 [$\frac{1}{cm^{2}\cdot s}$]

Flux = 농도 × 이동속도 ∝ $\left|\Psi (x) \right|^2\cdot \nu $ ∝$\left|\Psi (x) \right|^2\cdot k$

 

4-1) E > V0
Condition 1. ψ(x)는 연속이다.	Condition 2. ψ'(x)는 연속이다.
$$ \psi_{1}(x=0)=\psi_{2}(x=0) $$ → A + B = C $$\therefore -\frac{B}{A}+\frac{C}{A}=1$$	$$ \psi_{1}'(x=0)=\psi_{2}'(x=0) $$ → Ajk1 - Bjk1 = Cjk2 $$ \therefore \frac{B}{A}+\frac{k_{2}}{k_{1}}\cdot \frac{C}{A}=1 $$
$$\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 &  \frac{k_{2}}{k_{1}}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{B}{A} \\ \frac{C}{A}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $\frac{B}{A}=\frac{1-\frac{k_{2}}{k_{1}}}{1+\frac{k_{2}}{k_{1}}}$, $ \frac{C}{A}=\frac{2}{1+\frac{k_{2}}{k_{1}}}$ $$ \therefore \frac{k_{2}}{k_{1}}=\sqrt{\frac{E-V_{0}}{E}}=\sqrt{1-\frac{V_{0}}{E}}$$

 

→ 반사계수 & 전달계수

$$ R=\frac{\left|Be^{-jk_{1}x} \right|^2\cdot k_{1}}{\left|Ae^{+jk_{1}x} \right|^2\cdot k_{1}}=\left|\frac{B}{A} \right|^2=(\frac{1-\frac{k_{2}}{k_{1}}}{1+\frac{k_{2}}{k_{1}}})^2$$

$$ \therefore R = (\frac{1-\sqrt{1-\frac{V_{0}}{E}}}{1+\sqrt{1-\frac{V_{0}}{E}}})^2$$

E >>> V0	E > V0 (E $\approx $ V0)
$$\frac{k_{2}}{k_{1}} = 1 \,(\because \frac{V_{0}}{E} \to 0)$$ R = 0 입자의 에너지가 Potential energy보다 매우 큰 경우 입자의 반사는 발생하지 않는다.	$$\frac{k_{2}}{k_{1}} = 0 \,(\because \frac{V_{0}}{E} \to 1)$$ R = 1 입자의 에너지가 Potential energy와 같은 경우는 입자는 100% 반사한다.
R+T = 1의 관계에 따라 전달 계수 T는 1이다. → 입자의 에너지가 Potential energy보다 큰 경우 입자의 100%가 전달된다.	R+T = 1의 관계에 따라 전달 계수 T는 0이다. → 입자의 에너지가 Potential energy와 같은 경우 입자의 전달(전파)가 발생하지 않는다.

4-2) E < V0
x < 0 : $  \psi_{1}(x)=Ae^{+jk_{1}x}+Be^{-jk_{1}x} $ x ≥ 0 : $  \psi_{2}(x)= Ce^{+jk_{2}x}$ → $  \psi_{2}(x)= Ce^{-k_{20}x}$ ($k_{2}=\sqrt{\frac{2m(E-V_{0})}{\overline{h}^2}}$, $jk_{20}=\sqrt{\frac{2m(V_{0}-E)}{\overline{h}^2}}$)
Condition 1. ψ(x)는 연속이다.	Condition 2. ψ'(x)는 연속이다.
$$ \psi_{1}(x=0)=\psi_{2}(x=0) $$ → A + B = C $$\therefore -\frac{B}{A}+\frac{C}{A}=1$$	$$ \psi_{1}'(x=0)=\psi_{2}'(x=0) $$ → Ajk1 - Bjk1 = -Cjk2 $$ \therefore \frac{B}{A}+j\frac{k_{20}}{k_{1}}\cdot \frac{C}{A}=1 $$
$$ \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 &  j\frac{k_{20}}{k_{1}}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{B}{A} \\ \frac{C}{A}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$ $ \frac{B}{A}=\frac{1-j\frac{k_{20}}{k_{1}}}{1+j\frac{k_{20}}{k_{1}}}$, $ \frac{C}{A}=\frac{2}{1-j\frac{k_{20}}{k_{1}}}$

 

→ 반사계수 & 전달계수

입자의 에너지가 Potential energy보다 작으면 100% 반사가 일어나고, Potential energy보다 크면 100% 전달(전파)된다.

 

<출처>
Donald A. Neaman, "Semiconductor physics and device" 4th edition.

 

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