[반도체공학] 08. Introduction of the Quantum Theory of Solids (2)

Introduction of the Quantum Theory of Solids

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참고사항: $\overline{h}$은 디렉 상수 ħ를 의미합니다.

 

♭ Energy band & Bond model

Left: 절대온도 T = 0K, Right: 절대온도 T > 0K

절대온도 T = 0K에서는 Valence band에 존재하는 전자가 에너지를 갖고 있지 않아 Conduction band로 여기(Excitation)되는 것이 불가능하지만, 절대온도 T > 0K에서는 Valence band에 존재하는 전자가 에너지를 갖고 있어 Conduction band로 여기될 수 있다. Conduction band로 여기된 전자는 자유롭게 이동이 가능한 자유 전자(Free electron)이 되고, Valence band에 있던 전자의 빈 자리는 정공(Hole)이 되어 각각 전류에 기여한다.

 

♭ Drift current

전계(전기장)에 의한 전하의 이동을 Drift라고 하고, 이때 발생하는 전류 성분을 Drift current이다. (반도체에서 전류가 발생하는 이유는 1) Drift 2) Diffusion 3) Tunneling에 의해 발생한다.)

$$ J_{D}=qN\nu \, [\frac{A}{cm^2}] $$

q: 전하량 [c] N: 체적밀도 [cm-3] ν: Drift 평균 속도 [cm/sec]

 

*Drift current density

$$ J_{D}=q\sum_{N}^{i=1}\nu_{i} =-e\sum_{N}^{i=1}\nu_{i} $$

→ 전자(Free electron)에 의한 Drift current density

 

♭ Electron & Hole effective mass

격자 내부에는 양성자와 전자가 셀 수 없이 많이 존재하여 전자의 운동을 정확하게 기술하는 것은 불가능하다.

→ 전자의 운동은 격자 외부에 의한 힘과 격자 내부의 전하들에 의한 힘이 존재

$$F_{Total}=F_{external}+F_{internal}=ma$$

(m: 전자의 정지 질량)

 

$$F_{external} = m^*a$$

(m*: 전자의 유효 질량)

→ 격자 내부의 존재하는 힘을 모두 고려할 수 없기 때문

 

$$ F = ma  =-qE \to a =-\frac{qE}{m}$$

$$E=\frac{1}{2}mv^2=\frac{p^2}{2m}=\frac{\overline{h}^2k^2}{2m}$$

($p=mv=\frac{h}{\lambda }= \frac{h}{2\pi }\frac{2\pi }{\lambda }=\overline{h}k$)

 

$$\to \frac{dE}{dk}=\frac{\overline{h}^2k}{m}=\frac{\overline{h}k\cdot h}{m}=\frac{p\overline{h}}{m}$$

$$\to \frac{1}{\overline{h}} \cdot \frac{dE}{dk}=\frac{p}{m}=\frac{mv}{m}=v$$

 

$$\to \frac{d^2E}{dk^2}=\frac{\overline{h}^2}{m}$$

$$\to \frac{1}{\overline{h}^2} \cdot \frac{d^2E}{dk^2}=\frac{1}{m}$$

 

Bonded model에서 절대온도 T > 0K에서는 Valence band의 Electron이 결합을 끊고, Conduction band로 Excitation될 수 있는데 이 때 생기는 빈자리를 정공(Hole)이라고 한다.

 

*Valence band current density

$$J_{V.B.} = -e\sum_{i(filled)}^{}v_{i}=-e\sum_{i(total)}^{}v_{i}+e\sum_{i(empty)}^{}v_{i} = +e\sum_{i(empty)}^{}v_{i} $$

 

$-e\sum_{i(filled)}^{}v_{i}$은 Valence band에서의 전자의 수가 많아 해석할 수 없고,$ -e\sum_{i(total)}^{}v_{i}\equiv 0$으로 Free electron와 Hole의 Net motion은 0을 의미하고, $+e\sum_{i(empty)}^{}v_{i}$은 Hole에 의한 전류 밀도를 의미한다.

→ Valence band는 매우 많은 수가 전자로 구성되어 있어 전자의 운동으로 해석하는 것은 불가능하다. Valence band에서 에너지를 갖는 Electron이 Conduction band로 Excitation되어 생긴 빈자리는 전자의 수보다 매우 작은 수로 해석이 용이하다. : Valence band current density는 Electron이 아닌 Hole를 통해 해석

Left: Conduction band E-k diagram Right: Valence band E-k diagram

 

1) Electron

$$\left.\begin{matrix}
E(k)\end{matrix}\right|_{E>E_{c}}=E_{c}+\frac{\overline{h}^2k^2}{2m^*}=E_{C}+C_{1}k^2$$

$$\frac{d^2\left.\begin{matrix}
E(k)\end{matrix}\right|_{E>E_{c}}}{dk^2}=2C_{1}\to \frac{1}{\overline{h}^2}\frac{d^2\left.\begin{matrix}
E(k)\end{matrix}\right|_{E>E_{c}}}{dk^2}=\frac{2C_{1}}{\overline{h}^2}=\frac{1}{m^*}$$

→ C₁ > 0, m* > 0 이고 $ \frac{\overline{h}^2}{2C_{1}}$은 Electron effective mass

 

2) Hole

$$ \left.\begin{matrix}
E(k)\end{matrix}\right|_{E<E_{v}}=E_{v}-\frac{\overline{h}^2k^2}{2m^*}=E_{v}-C_{2}k^2 $$

$$\frac{d^2\left.\begin{matrix}
E(k)\end{matrix}\right|_{E<E_{v}}}{dk^2}=-2C_{2}\to \frac{1}{\overline{h}^2}\frac{d^2\left.\begin{matrix}
E(k)\end{matrix}\right|_{E<E_{v}}}{dk^2}=-\frac{2C_{2}}{\overline{h}^2}=\frac{1}{m^*}$$

→ C₂ > 0 이고 $- \frac{\overline{h}^2}{2C_{2}}$가 Hole effective mass이므로 m* < 0 이다.

 

<출처>
Donald A. Neaman, "Semiconductor physics and device" 4th edition.

 

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