[반도체공학] 10. The Semiconductor in Equilibrium (1)

The Semiconductor in Equilibrium

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참고사항: $\overline{h}$ 디렉 상수 ħ를 의미합니다.

 
♭ Equilibrium Distribution of Electron & Hole
반도체 소자는 전압 인가에 따라 전류가 흐르게 되는데, 이 전류는 Electron과 Hole 두 가지 Carrier에 의해 결정된다. 따라서 반도체 물성을 정확히 파악하기 위해서는 Electron과 Hole의 수를 정확하게 파악하는 것이 중요하다. 지난 포스팅에서 Fermi-Dirac probability function(이하 Fermi function)에 대해 알아보았는데, Electron과 Hole의 수와 Fermi function과는 밀접한 관계가 있다.

https://mse-semi.tistory.com/entry/%EB%B0%98%EB%8F%84%EC%B2%B4%EA%B3%B5%ED%95%99-09-Introduction-of-the-Quantum-Theory-of-Solids-3

[반도체공학] 09. Introduction of the Quantum Theory of Solids (3)

$$ f_{F}(E)=\frac{N(E)}{g(E)} \leftrightarrow N(E)=f_{F}(E)\times g(E)$$
$$P(E)=(1-f_{F}(E))\times g(E)$$

(f_F(E): Fermi function N(E): Density of electron g(E): Density of state)

Fermi function는 어떤 에너지 E를 갖을 떄, 허용 가능한 양자 상태 수에서 전자로 채워진 비율을 의미한다. 따라서 Electron과 Hole의 수를 파악하기 위해서는 Fermi function을 통해 구할 수 있다.  
 

Intrinsic semicondutor

절대온도 T = 0K인 경우 Valence band에서 Conduction band로 Electron이 여기될 수 없다. (Energy = 0)

→ N(E) = ∫ g_c(E)·f_F(E)dE = 0 & P(E) = ∫ g_v(E)·(1-f_F(E))dE = 0

절대온도 T > 0K인 경우 Valence band에서 Conduction band로 Electron이 여기되어 전류에 기여할 수 있는 Electron-Hole Pair(EHP)가 생성된다.
→ Intrinsic semiconductor는 별도의 불순물이 주입되지 않았기 때문에 Free electron과 Hole의 수는 동일하다.

1) n₀ = p₀: Fermi level을 기준으로 Fermi function이 대칭을 이룬다. → 별도의 불순물이 주입되지 않았다.

2) n₀ ≠ p₀: Fermi level을 기준으로 Fermi function이 비대칭을 이룬다. → 별도의 불순물이 주입되었다.

(n₀: Electron concentration p₀: Hole concentration)

 

♭ n₀ & p₀ equation

Electron concentration: n0

Hole concentration: p0

$$n_{0}= \int g_{c}(E)f_{F}(E)dE$$ 1. $f_{F}(E)=\frac{1}{1+exp(\frac{E-E_{F}}{kT})}\approx exp(\frac{-(E-E_{F})}{kT})$ 2. $g_{c}(E)=\frac{4\pi (2m^*_{n}{\frac{3}{2}})}{h^3}\sqrt{E-E_{c}}$ $$\to n_{0}=\int_{E_{c}}^{\infty }\frac{4\pi (2m^*_{n})^{3/2}}{h^3}\sqrt{E-E_{c}}exp[\frac{-(E-E_{F})}{kT}]dE$$ $$\eta = \frac{E - E_{c}}{kT} $$ $$n_{0}=\frac{4\pi (2m^*_{n}kT)^{3/2}}{h^3}\cdot exp[\frac{-(E_{c}-E_{F})}{kT}]\int_{0}^{\infty}\eta ^{1/2}exp(-\eta )d\eta $$  → Gamma function $$\int_{0}^{\infty }\eta ^{1/2}exp(-\eta )d\eta =\frac{1}{2}\sqrt{\pi }$$ $$\therefore n_{0}=2(\frac{2\pi m^*_{n}kT}{h^2})^{3/2}exp[\frac{-(E_{c}-E_{F})}{kT}]$$ ($N_{c}=2(\frac{2\pi m^*_{n}kT}{h^2})^{3/2}$) $$n_{0}=N_{c}\cdot exp[\frac{-(E_{c}-E_{F})}{kT}]$$

$$p_{0}= \int g_{v}(E)(1-f_{F}(E))dE$$ 1. $1-f_{F}(E)=\frac{1}{1+exp(\frac{E_{F}-E_{}}{kT})}\approx exp(\frac{-(E_{F}-E)}{kT})$ 2. $g_{v}(E)=\frac{4\pi (2m^*_{p}{\frac{3}{2}})}{h^3}\sqrt{E_{v}-E}$ $$ \to p_{0}=\int_{-\infty }^{E_{v} }\frac{4\pi (2m^*_{p})^{3/2}}{h^3}\sqrt{E_{v}-E}exp[\frac{-(E_{F}-E)}{kT}]dE$$ $$\eta '= \frac{E_{v}- E}{kT}$$ $$p_{0}=\frac{4\pi (2m^*_{p}kT)^{3/2}}{h^3}\cdot exp[\frac{-(E_{F}-E_{v})}{kT}]\int_{0}^{\infty}\eta' ^{1/2}exp(-\eta' )d\eta '$$ → Gamma function $$\int_{0}^{\infty }\eta '^{1/2}exp(-\eta' )d\eta' =\frac{1}{2}\sqrt{\pi }$$ $$\therefore p_{0}=2(\frac{2\pi m^*_{p}kT}{h^2})^{3/2}exp[\frac{-(E_{F}-E_{v})}{kT}]$$ ($N_{v}=2(\frac{2\pi m^*_{p}kT}{h^2})^{3/2}$) $$p_{0}=N_{v}\cdot exp[\frac{-(E_{F}-E_{v})}{kT}]$$

- Thermal equilibrium 상태(T=300K)에서 실리콘 격자 내부에 존재하는 Conduction bamd의 Free electron의 농도는 Valence band의 Hole의 농도보다 높다. (Effective mass in Silicon - Electron: 1.08, Hole: 0.56) 
- Thermal equilibrium 상태에서 Free electron과 Hole의 농도는 Fermi level과 DOS(Density of state)에 의해 결정된다. → 격자의 재료에 따라 Carrier(Free electron, Hole)의 농도가 결정된다.
 

<출처>
Donald A. Neaman, "Semiconductor physics and device" 4th edition.
 

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