[반도체공학] 11. The semiconductor in Equilibrium (2)

The semiconductor in Equilibrium

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♭ The Intrinsic Carrier Concentration

Thermal equilibrium 상태에서 Electron & Hole의 농도는 Fermi-level과 DOS(Density of state)에 의해 결정되고, Intrinsic semiconductor의 Carrier 농도는 Electron과 Hole의 농도를 통해 추산할 수 있다.

https://mse-semi.tistory.com/entry/%EB%B0%98%EB%8F%84%EC%B2%B4%EA%B3%B5%ED%95%99-10-The-Semiconductor-in-Equilibrium-1

[반도체공학] 10. The Semiconductor in Equilibrium (1)

1. Electron concentration: $ n_{0}=n_{i}=N_{c}\cdot exp[\frac{-(E_{c}-E_{Fi})}{kT}] $

 

2. Hole concentration: $  p_{0}=p_{i}=N_{v}\cdot exp[\frac{-(E_{Fi}-E_{v})}{kT}] $

 

$$ → n_{i}^2=n_{0}\cdot p_{0}=N_{c}N_{v}\cdot exp[\frac{-(E_{c}-E_{v})}{kT}]=N_{c}N_{v}\cdot exp[\frac{-E_{g}}{kT}] $$

 

n_i² 값으로 Intrinsic Carrier concentration을 계산할 수 있다. T = 300K 에서의 실리콘(E_g = 1.12eV)에 대한 Intrinsic carrier concetration(n_i)을 계산하면 n_i = 6.95 × 10⁹ cm^-3이다. 

1. Effective mass

Effective mass는 결정 내부에서 입자가 얼마나 잘 운동하는지에 대한 파라미터로 실험적으로 결정된다.

2. Desity of state(DOS)

DOS는 3차원 Infinite well에서 전자에 존재할 수 있는 Energy state에 대한 값이다. 대부분 실험값과 이론값이 약 2배가 차이가 있지만 중요하지 않다.

 

→ Intrinsic carrier concentration(n_i)는 Effective mass와 DOS에 의해 결정되는데, 주어진 온도/재료에서는 n_i 값은 상수로 결정된다.

	Nc(cm-3)	Nv(cm-3)	mn*/m0	mp*/m0	ni(cm-3)
Silicon (Si)	2.8 × 1019	1.04 × 1019	1.08	0.56	1.5 × 1010
Gallium arsenide (GaAs)	4.7 × 1017	7.0 × 1018	0.067	0.48	1.8 × 106
Germanium (Ge)	1.04 × 1019	6.0 × 1018	0.55	0.37	2.4 × 1013

 

♭ The Intrinsic Fermi-level position

Fermi level의 정의에 따라 E_F는 Bandgap의 정중앙에 위치한다. Intrinsic Fermi-level의 위치는 Intrinsic semiconductor의 특징인 Electron과 Hole의 농도가 일치한다는 것에서 시작한다. (n_i=p_i)

$$N_{c}[\frac{-(E_{c}-E_{Fi})}{kT}]=N_{v}[\frac{-(E_{Fi}-E_{v})}{kT}]$$

수식을 E_Fi에 대하여 정리

$$ E_{Fi}=\frac{1}{2}(E_{c}+E{v})+\frac{1}{2}kTln(\frac{N_{v}}{N_{c}}) $$

$$ → E_{Fi}=\frac{1}{2}(E_{c}+E{v})+\frac{3}{4}kTln(\frac{m_{p}^*}{m_{n}^*}) $$

($N_{c}=2(\frac{2\pi m_{n}^*kT}{h^2})^{3/2}$, $ N_{v}=2(\frac{2\pi m_{p}^*kT}{h^2})^{3/2}$)

 

$$\frac{1}{2}(E_{c}+E_{v})=E_{midgap}$$

$$ → E_{Fi}-E_{midgap}=\frac{3}{4}kTln(\frac{m_{p}^*}{m_{n}^*}) $$

 

Hole과 Electron의 Effective mass의 차이에 의해 Intrinsic Fermi-level의 위치가 결정된다.

1. Electron = Hole: Bandgap의 정중앙에 Intrinsic Fermi-level이 위치한다.

2. Electron > Hole: Bandgap의 중앙보다 높은 영역에 Intrinsic Fermi-level이 위치한다.

3. Electron < Hole: Bandgap의 중앙보다 낮은 영역에 Intrinsic Fermi-level이 위치한다.

→ Density of state(DOS)는 Carrier(Electron or Hole)의 Effective mass에 직접적으로 연관되어 있다. Effective mass가 클수록 DOS가 크다는 것을 의미한다. 

($N_{c}=2(\frac{2\pi m_{n}^*kT}{h^2})^{3/2}$, $ N_{v}=2(\frac{2\pi m_{p}^*kT}{h^2})^{3/2}$)

따라서 Hole과 Electron의 농도가 일정할 때, Effective mass가 클수록 Intrinsic Fermi-level은 Bandgap의 정중앙에서 멀리 위치한다.

<출처>
Donald A. Neaman, "Semiconductor physics and device" 4th edition.
 

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