[반도체공학] 09. Introduction of the Quantum Theory of Solids (3)

Introduction of the Quantum Theory of Solids

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 참고사항: $\overline{h}$은 디렉 상수 ħ를 의미합니다.

 

♭ Density of state (DOS)

반도체 소자의 I-V 특성을 분석하기 위해서는 전류 즉 전하(전자, 정공)의 흐름과 수는 중요한 파라미터

→ Pauli's exclusion principle에 의해 각각의 전자는 고유한 양자 상태를 가지고 있기 때문에 선택 가능한 양자 상태의 수가 많을수록 전자의 수가 증가할 수 있다. 따라서 전자, 정공의 수를 계산하기 위해서는 허용 에너지 상태의 수를 파악해야 한다.

1) Potential energy Ep 정의

$$ E_{p}(x,y,z) =\left\{\begin{matrix}
0 : 0 < x < a, 0<y<a, 0<z<a \\\infty : eleswhere
\end{matrix}\right.$$

 

2) 전파 상수 k 정의

$$\frac{2mE}{\overline{h}^2}=k^2=k_{x}^2+k_{y}^2+k_{z}^2=(n^2+m^2+l^2)(\frac{\pi }{a})^2$$

$\Delta k=k_{i}-k_{i-1}=n_{x}({\frac{\pi }{a}})-n_{x-1}({\frac{\pi }{a}})=\frac{\pi }{a}$ → 1개의 k 길이

Normalization: $$V_{k}=(\frac{\pi }{a})^3$$

 

3) $g(k)dk \leftrightarrow g(E)dE$

역공간에서는 k가 동일한 간격을 갖고 있기 때문에 계산에 용이하다.

→ g(k)dk를 이용하여 g(E) 도출

$$g(k)\Delta k=\frac{\frac{4}{3}\pi (k+dk)^3-\frac{4}{3}\pi k^3}{(\pi /a)^3} \to g(k)dk=\frac{4\pi k^2dk}{(\pi /a)^3}$$

$$k=\sqrt{\frac{2m^*E}{\overline{h}^2}} \to k^2=\frac{2m^*E}{\overline{h}^2}$$

$$\therefore E=\frac{\overline{h}^2k^2}{2m^*} \to dE = \frac{\overline{h}^2k}{m^*} dk$$

($dk=\frac{m^*}{\overline{h}^2k^2}dE$)

 

$$\begin{align}g(k)dk & =\frac{4\pi k^2dk}{(\pi /a )^3}\cdot 2\cdot \frac{1}{2^1}\cdot \frac{1}{a^3}=\frac{k^2}{\pi ^2}dk \\ & =\frac{k^2}{\pi ^2}\cdot \frac{m^*}{\overline{h}^2k^2}dE=\frac{km^*}{\pi ^2\overline{h}^2}dE=\frac{m^*}{\pi ^2\overline{h}^2}\cdot \sqrt{\frac{2mE}{\overline{h}^2}}dE \\ & = \frac{m^*\sqrt{2m^*}}{\pi ^2\overline{h}^3}\sqrt{E}dE=\frac{m^*\sqrt{2m^*}}{\pi ^2(\frac{h}{2\pi })^3}\sqrt{E}dE=\frac{8\pi m^*\sqrt{2m^*}}{h^3}\sqrt{E}dE=\frac{4\pi 2m^*\sqrt{2m*}}{h^3}\sqrt{E}dE \end{align}$$

 

$$\therefore g(E)=\frac{4\pi (2m^*)^{\frac{3}{2}}}{h^3}\sqrt{E}$$

 

Desity of quantum state는 에너지 E에 관한 함수이다. 자유전자의 에너지가 작아짐에 따라 허용 가능한 Density of quantum state의 수는 줄어든다.

 

♭ Density of state (DOS) in semiconductor

 

Density of state $$ g_{T}(E)=\frac{4\pi (2m^*)^{\frac{3}{2}}}{h^3}\sqrt{E}$$
Conduction band	Valence band
$$E=E_{c}+\frac{\overline{h}^2k^2}{2m_{n}^*} \to E-E_{c}=\frac{\overline{h}^2k^2}{2m_{n}^*}$$ $$ \therefore g_{c}(E)=\frac{4\pi (2m_{n}^*)^{\frac{3}{2}}}{h^3}\sqrt{E-E_{c}}$$	$$E=E_{v}-\frac{\overline{h}^2k^2}{2m_{p}^*} \to E_{v}-E=\frac{\overline{h}^2k^2}{2m_{p}^*}$$ $$ \therefore g_{v}(E)=\frac{4\pi (2m_{p}^*)^{\frac{3}{2}}}{h^3}\sqrt{E_{v}-E}$$

 

1. Density of quantum state는 금지대역(Forbidden band) 내부에 존재하지 않는다. 따라서 E_v < E < E_c에 대하여 g(E) = 0 이다. 전자와 정공의 Effective mass가 동일하면, g_c(E)와 g_v(E)는 금지대역(Forbidden band)을 기준으로 대칭을 이룬다.

2. Valence band & Conduction band의 Density of quantum state는 g(E)가 증가함에 따라 함께 증가한다.

 

♭ Statical Mechanism

1) Fermi-Dirac Probability function

$$ f_{F}(E)=\frac{N(E)}{g(E)}=\frac{Density\,of\,electrons}{Density\,of\,states}=\frac{1}{1+exp(\frac{E-E_{F}}{kT})}$$

→ 어떤 에너지 E를 갖을 때, 허용 가능한 양자 상태 수에서 전자로 채워진 비율

(*E_F: Fermi level)

*Fermi-level은 1) 절대온도 T = 0K에서 전자가 갖을 수 있는 가장 높은 에너지, 2) 절대온도 T > 0K에서 전자(or Hole)이 발견될 확률이 50%인 에너지를 의미한다.

① T = 0K : 절대온도 T = 0K에서는 모든 전자가 Valence band에 존재한다.
- E > EF $$\left.\begin{matrix} f_{F1}(E)\end{matrix}\right|_{T=0}=\frac{1}{1+exp(\frac{E-E_{F}}{k\cdot 0})}=\frac{1}{1+exp(\infty )}=0$$ → Fermi level보다 높은 에너지를 갖을 때, 허용 가능한 양자 상태 중 어떤 양자 상태에도 전자가 존재하지 않는다.	- E < EF $$\left.\begin{matrix} f_{F1}(E)\end{matrix}\right|_{T=0}=\frac{1}{1+exp(\frac{E-E_{F}}{k\cdot 0})}=\frac{1}{1+exp(-\infty )}=1$$ → Fermi level보다 낮은 에너지를 갖을 때, 허용 가능한 양자 상태 중 모든 양자 상태에서 전자가 존재한다.
② T = T1 > 0K : 절대온도 T = T1 > 0K에서는 열에너지(Thermal energy)에 의해 Valence band에 존재하는 전자 일부가 Conduction band로 여기된다.
- E > EF  $$\left.\begin{matrix} f_{F2}(E)\end{matrix}\right|_{T=T_{1}}=\frac{1}{1+exp(\frac{E-E_{F}}{kT})}=\frac{1}{1+exp(+a  )}$$ $$\to 0 < f_{F2}(E) < 0.5$$ → Fermi level보다 높은 에너지를 갖을 때, 허용 가능한 양자 상태 중 일부의 양자 상태에 전자가 존재한다.	- E < EF $$\left.\begin{matrix} f_{F2}(E)\end{matrix}\right|_{T=T_{1}}=\frac{1}{1+exp(\frac{E-E_{F}}{kT})}=\frac{1}{1+exp(-a  )} $$ $$\to 0.5 < f_{F2}(E) < 1.0$$ → Fermi level보다 낮은 에너지를 갖을 때, 허용 가능한 양자 상태 중 대부분의 양자 상태에 전자가 존재한다.
③ T = T2 > T1 > 0K :  절대온도 T = T2 > T1 > 0K에서는 열에너지에 의해 Valence band에 존재하는 전자 일부가 Conduction band로 여기된다. (절대온도 T = T1 보다 많은 수의 전자가 여기 될 수 있다.)
- E > EF $$\left.\begin{matrix} f_{F3}(E)\end{matrix}\right|_{T=T_{1}}=\frac{1}{1+exp(\frac{E-E_{F}}{kT})}=\frac{1}{1+exp(+a+\Delta  )} $$ $$\to 0 < f_{F3}(E) < 0.5, f_{F3}(E)<f_{F2}(E)$$ → Fermi level보다 높은 에너지를 갖을 때, 허용 가능한 양자 상태 중 일부의 양자 상태에 전자가 존재한다. T = T1 보다 T = T2 일때 Fermi-Dirac probabilty function 값이 크다. 더 큰 열에너지로 여기된 전자의 수가 많기 때문이다.	- E < EF $$\left.\begin{matrix} f_{F3}(E)\end{matrix}\right|_{T=T_{1}}=\frac{1}{1+exp(\frac{E-E_{F}}{kT})}=\frac{1}{1+exp(-a-\Delta  )}$$ $$\to 0.5 < f_{F3}(E) < 1.0, f_{F3}(E)<f_{F2}(E) $$ → Fermi level보다 높은 에너지를 갖을 때, 허용 가능한 양자 상태 중 일부의 양자 상태에 전자가 존재한다. T = T1 보다 T = T2 일때 Fermi-Dirac probabilty function 값이 작다. 더 큰 열에너지로 여기된 전자의 수가 많기 때문이다.

 

 

Hole에 대한 Fermi-Dirac probability function을 구해보면 1-fF(e) 관계를 통해 구할 수 있다. Hole은 전자가 빠져나가고 빈 자리를 의미하기 때문이다.

 

2) Maxwell-Boltzmann Approximation

$$f_{F}(E)=\frac{1}{1+exp(\frac{E-E_{F}}{kT})}\approx exp(\frac{-(E-E_{F})}{kT})$$

Fermi-Dirac probability function의 형태가 복잡하여 계산이 번거롭다. E-E_F >> kT이면, Maxwell-Boltzmann approximation을 통해 허용된 에너지 상태에 존재하는 전자(or Hole)의 비율을 구할 수 있다. 상온에서 동작하는 반도체 소자의 대부분은 E-E_F >> kT 조건을 만족하여 Maxwell-Boltzmann approximation을 사용할 수 있다. (E-E_F 값이 커질수록 Fermi-Dirac probability function과 Maxwell-Boltzmann approximation 사이의 오차는 줄어든다.)

 

<출처>
Donald A. Neaman, "Semiconductor physics and device" 4th edition.

 

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