[반도체공학] 07. Introduction of the Quantum Theory of Solids (1)

 

Introduction of the Quantum Theory of Solids 

---

참고사항: $\overline{h}$은 디렉 상수  ħ를 의미합니다.

 

♭ 에너지 밴드(Energy band)

 

어떤 두 원자 사이의 거리가 매우 멀다면 각 원자가 서로에게 상호작용(Interaction)을 미칠 수 없어 두 원자 사이의 포텐셜 에너지(Potential energy)는 무시할 수 있다. 하지만, 두 원자 사이의 거리가 가까워진다면 각 원자는 다른 원자로부터 인력(Attractive force), 반발력(Repulsive force)에 영향을 받게 된다. 두 원자 사이의 거리는 열역학적으로 안정해지기 위하여 인력과 반발력에 대한 에너지 총합이 가장 낮은 거리를 유지하게 되며, 이 거리를 원자 결합 길이라고 한다. 두 원자가 결합하는 이유는 인력, 반발력에 대해 열역학적으로 안정해지기 위함도 있지만, 18족 원소를 제외한 모든 원자들은 옥텟 규칙(Octet rule)을 지키기 위하여 다른 원자들과 결합하는 것을 선호한다.

 

어떤 두 원자 사이의 거리가 가까워져 결합을 이루게 된다면, 각 원자에 존재하는 전자의 에너지 준위의 중첩(Overlap)이 발생한다. 하지만, 파울리 배타 원리(Pauli's exclusion principle)에 의해 전자는 같은 양자수를 갖을 수 없기 때문에 에너지 준위가 중첩이 발생하는 것이 아니라 쪼개져(Split) 위 그림과 같이 분화된다.

일반적으로 우리가 다루게 되는 반도체(고체)는 무수히 많은 원자들이 상호작용을 이루면 결합을 이루고 있다. (원자가 1mole만 있다고 상상해도 6.02 × 10²³개 이다.) 따라서, 무수히 많은 원자들 사이의 거리가 짧아지면서 전자의 에너지 준위가 분리되는 수가 증가함에 따라 에너지 준위가 존재할 수 없는 금지대역(Forbidden band)가 생기며 에너지 밴드(Energy band) 구조를 갖는다. 전자가 존재하는 영역을 가전자 대역(Valence band), 전자가 존재할 수 있지만 전자가 비어있는 영역을 전도 대역(Conduction band)라고 한다.

 

♭ Kronig-Penney model

Left: Overlaping potential function Mid: Net potential function Right: Kronig-Penney model

18족 원소를 제외한 원자들은 단일 원자로 존재하는 것보다 다른 원자들과 상호작용을 하며 존재하는 것이 유리하다. 해석이 용이하도록 원자 배열이 일정한 단결정 내부에서 1차원적으로 원자가 배열되어 있는 경우를 해석하고자 한다. 왼쪽 그림은 원자들이 인접하게 배열될 때 Potential function을 나타낸다. 가운데는 Potential function을 합한 결과를 나타내는데, 해해석이 복잡하여 Potential function을 단순화 시킨 Kronig-Penney model를 나타낸다.

 

주기적으로 변하는 Potential function에 대해 Schrodinger's wave equation으로 얻어지는 모든 단일전파의 파동함수는 다음과 같다.

$$  \psi (x) = u(x)exp(+j kx) $$

(k: 운동상수, u(x): 주기가 (a+b)인 주기 함수)

 

Schrodinger's wace equation의 완전 해는 Time-independent solution과 Time-dependent solution의 곱으로 나타낸다.

$$\Psi (x,t)=\psi (x)\phi (t)=u(x)exp(+jkx)exp(-j\frac{E}{\overline{h}}t)=u(x)exp(j(kx-\frac{E}{\overline{h}}t))$$

→ 단결정 내부에서 전자의 운동을 기술

 

영역 Ⅰ : V(x) = 0	영역 Ⅱ : V(x) = V0
$\frac{\partial^2 u_{1}(x)}{\partial x^2}+2jk\frac{\partial u_{1}(x)}{\partial x}-(k^2-\alpha ^2)u_{1}(x)=0$ → $\alpha ^2 =\frac{2mE}{\overline{h}^2}$	$\frac{\partial^2 u_{2}(x)}{\partial x^2}+2jk\frac{\partial u_{2}(x)}{\partial x}-(k^2-\alpha ^2+\frac{2mV_{0}}{\overline{h}^2})u_{2}(x)=0$ → $ \frac{2m}{\overline{h}^2}(E-V_{0})=\alpha ^2-\frac{2mV_{0}}{\overline{h}^2}=\beta ^2$
미분 방정식 해 $u_{1}(x)=Ae^{j(\alpha -k)x}+Be^{-j(\alpha +k)x}$	미분 방정식 해 $u_{2}(x)=Ce^{j(\beta  -k)x}+De^{-j(\beta  +k)x}$
Potential function V(x)가 유한하므로 경계 조건에 의해 $\psi(x)$, $\frac{\partial \psi(x)}{\partial x}$는 연속
1) $u_{1}(0)=u_{2}(0)\to A+B-C-D=0$ 2) $u_{1}'(0)=u_{2}'(0)\to (\alpha -k)A-(\alpha +k)B-(\beta -k)C+(\beta +k)D=0$ 3) $u_{1}(a)=u_{2}(b)\to Ae^{j(\alpha -k)a}+B^{-j(\alpha+k )a}-Ce^{j(\beta -k)b}+De^{j(\beta +k)b}$ 4) $u_{1}'(a)=u_{2}'(b)\to (\alpha -k)Ae^{j(\alpha -k)a}-(\alpha +k)B^{-j(\alpha+k )a}-(\beta -k)Ce^{j(\beta -k)b}+(\beta +k)De^{j(\beta +k)b}$ $\therefore \frac{-(\alpha ^2+\beta ^2)}{2\alpha \beta }\cdot sin(\alpha a)\cdot sin(\beta b)+cos(\alpha a)\cdot cos(\beta b)=cos(k(a+b))$ 수치해석 결과: $(\frac{mV_{0}ba}{\overline{h}^2})\frac{sin\alpha a}{\alpha a} +cos\alpha a=coska$ ($P'=\frac{mV_{0}ba}{\overline{h}^2}$) $\therefore P'\frac{sin\alpha a}{\alpha a}+cos\alpha a=coska$  해의 성질을 이해하기 위해 V0 = 0인 경우 : V0 = 0 → P' = 0 $\therefore cos\alpha a=coska \to \alpha =k=\sqrt{\frac{2mE}{\overline{h}^2}}=\sqrt{\frac{2m\frac{1}{2}mv^2}{\overline{h}^2}}=\frac{p}{\overline{h}} $

$E=\frac{p^2}{2m}=\frac{k^2\overline{h}^2}{2m}$의 관계를 갖는다. → 에너지 E와 운동량 P(운동 상수 k)는 제곱에 비례관계 P'이 증가함에 따라 입자는 Potential well 혹은 원자에 더욱 강하게 결합한다.

$\therefore P'\frac{sin\alpha a}{\alpha a}+cos\alpha a=coska$ 의 좌변을 함수 f(αa)에 대해 정리하면 다음과 같다.

$$f(\alpha a)=P'\frac{sin\alpha a}{\alpha a} +cos\alpha a$$

 

f(αa) 그래프에서 f(αa)의 허용값이 +1과 -1 사이에 존재해야 한다. (coska의 최대와 최소가 각각 +1과 -1이기 때문이다.) ka 값에 따라 허용되는 f(αa) 값은 하늘색 부분의 영역으로 표시되어 있다.

 $\alpha ^2=\frac{2mE}{\overline{h}^2} $로 부터 입자의 총 에너지와 α와 관계가 있다. 입자의 에너지 E와 파수 k의 관계 함수를 f(αa) 그래프로 나타낸다. 이 그래프를 단결정 격자를 이동하는 입자의 Energy band 개념을 위 그름으로 표현할 수 있다. → 에너지 E가 불연속적이므로 결정에서 운동하는 입자에 대한 금지대역(Forbidden band)가 존재한다.

<출처>
Donald A. Neaman, "Semiconductor physics and device" 4th edition.

William D. Callister JR, David G. Rethwisch, "Materials science and engineering" 10th edtion.

 

오류가 있다면 지적해주시면 감사하겠습니다 :)