[반도체공학] 05. Introduction to Quantum mechanism (3)

Introduction to Quantum mechanism

---

참고사항: $\overline{h}$은 디렉 상수 ħ를 의미합니다.

 

♭ Electron in Free space
Free eletron : Electron potential energy = 0

→ E_p = 0

$$ \therefore \frac{\partial^2 \psi (x)}{\partial x^2} + \frac{2mE}{\overline{h}}\psi (x) =0 $$
$\psi (x) = Ae^{+jkx}+Be^{-jkx}$ ($Ae^{+jkx}$ : +x 방향으로 전자 이동, $Be^{-jkx}$ : -x 방향으로 전자 이동)
 
Assumption) 전자가 +x 방향으로 이동
$$\Psi (x,t) = \psi(x)\phi(t) = Ae^{+jkx}\cdot Ae^{-jwt}=Ae^{j(kx-wt)}=Acos(kx-wt)$$
$$k=\sqrt{\frac{2mE}{\overline{h}}} = \sqrt{\frac{p^2}{\overline{h}^2}}=\frac{p}{\overline{h}} $$
→$\lambda =\frac{2\pi }{k}$ or $k =\frac{2\pi }{\lambda}$
 

전자의 이동은 전파 상수(전자 주입 시 Total energy)에 의해 결정되며, $\int_{-\infty }^{\infty }\left| \Psi(x,t)  \right|^2=1$이므로 시간에 무관하다. 결정된 운동량을 갖는 자유 입자(자유 전자)는 동일한 확률로 모든 위치에서 발견되므로, 운동량이 정확할 경우 위치를 구체적으로 알 수 없는 불확정성 원리(Uncertanity principle)와 일치한다.
 

♭ Infinite potential well
→ Hetero-junction semiconductor device 해석 가능 (Ex: MOSFET, TFT, Flash memory)

 

1) 포텐셜 에너지 Ep 정의
영역Ⅰ( x < 0 )	영역 Ⅱ ( 0 ≤ x ≤ a )	영역 Ⅲ ( x > 0 )
Ep1(x < 0) = ∞	Ep2(0 ≤ x ≤ a) = 0	Ep3(x > 0) = ∞
2) 전파 상수 k 정의
$k_{1}(x < 0) = \sqrt{\frac{2m(E-\infty )}{\overline{h}^2}}=j\infty $	$k_{2}(0\leq x\leq a) =\sqrt{\frac{2m(E-0)}{\overline{h}^2}}=\sqrt{\frac{2mE}{\overline{h}^2}}$	$k_{3}(x> a)=\sqrt{\frac{2m(E-\infty )}{\overline{h}^2}}=j\infty $
3) 파동 함수 ψ(x) 정의
$\psi_{1}(x<0) = Ce^{jkx}+De^{-jkx}$	$\psi_{2}(0≤x≤a) = Ae^{jkx}+Be^{-jkx} $	$\psi_{3}(x＞a) = Ee^{jkx}+Fe^{-jkx} $
4) 경계 조건 (Boundary condition) Condition 1. ψ(x)는 유한한 값을 갖는다.
$\psi_{1}(x) = Ce^{jkx}+De^{-jkx} $  k1 = j$\infty $대입 : C = 0 영역Ⅰ은 x < 0 구간이므로, $ \psi_{1}(x)=Ce^{-\infty x} + De^{+\infty x} \neq \infty $ $  \therefore \psi _{1}(x) = De^{\infty x} $ (D는 0에 매우 가까운 상수)	$\psi_{2}(x)=Ae^{+jkx}+Be^{-jkx}$ $= Acos(kx) + B sin(kx)$	$\psi_{3}(x) = Ee^{jkx}+Fe^{-jkx} $ k3 = j$\infty $ 대입 : F = 0 영역 Ⅲ은 x > 0 구간이므로, $\psi_{3}(x)= Ee^{-\infty x}+Fe^(+\infty x)$ $\therefore \psi_{3}(x)= Ee^{-\infty x}$ (E는 0에 매우 가까운 상수)

 

4) 경계 조건  (Boundary condition) Condition 2. ψ(x)는 연속함수이다.
- 0 극한 $\displaystyle \lim_{x \to 0-} \psi(x) = \displaystyle \lim_{ x\to 0+}\psi(x)$ → $\psi_{1}(x=0) = \psi_{2}(x=0)$ $\psi_{1}(x=0) = De^{\infty\cdot 0} = D \approx 0 $ $\therefore \psi_{1}(x=0) =0$ $\psi_{2}(x=0) = Acos(k\cdot 0) +Bsin(k\cdot 0) = 0$ $\therefore Acosk0 = 0 \to A=0 $	- a 극한 $\displaystyle \lim_{x \to a-} \psi(x) = \displaystyle \lim_{ x\to a+}\psi(x)$ → $\psi_{3}(x=a) = \psi_{2}(x=a)$ $\psi_{3}(x = a) = Ee^{\infty\cdot 0} = E \approx 0$  $\therefore \psi_{3}(x=a) =0$ $\psi_{2}(x=a) = Bsin(k\cdot a) = 0$ $\therefore Bsinka = 0 $
Bsinka = 0 조건
1) B = 0 $\int_{0}^{a} \left| \psi(x)\right|^2 = 1$이 성립되지 않는다. 따라서, B ≠ 0	2) sinka = 0 따라서, $k_{n} = \frac{n\pi }{a}$ (n은 0이 아닌 정수) 이다.

 
$\therefore \psi _{2}(x) = Bsin(\frac{n\pi }{a}x)$
 

파동함수 ψ(x)에 대하여 정수 n에 따라 에너지 준위는 양자화 되어 있다.
 
5) 일반화
$$\int_{-\infty }^{\infty }\left|\psi (x) \right|^2 = \int_{0}^{a}\left|\psi _{2}(x) \right|^2dx = \int_{0}^{a}B^2sin^2(kx)dx = \int_{0}^{a}B^2(\frac{1-cos(2kx)}{2})dx = B^2[\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}sin(2kx)]_{0}^{a} = \frac{1}{2}B^2a=1$$
$$\therefore B = \sqrt{\frac{2}{a}} \to \psi _{2}(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}sin(kx)$$
→반파장의 정수배가 Infinite potential well의 너비(길이)와 동일할 때 전자의 파동이 존재 가능하다.
 

<출처>
Donald A. Neaman, "Semiconductor physics and device" 4th edition.

 

오류가 있다면 지적해주시면 감사하겠습니다 :)